3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200….
Une suite de chiffres, une suite qui nous fait nous pencher au bord de l’abime, un abime que nous avons en nous, qui se trouve dans chaque parcelle de l’espace au sein duquel nous évoluons, un abime merveilleux qui fascine les humains depuis presque toujours, une suite de 31415 milliards de chiffres connus après 3 virgule, pour un nombre, le nombre π. Alors ce soir, π * Nowakowskismes2 = les Nowakowsπsmes, ce soir, nous nous lançons dans une exploration de l’infini, et d’un infini que nous connaissons tous et toutes.
Je continue mon énumération ? 0568127145263560827… êtes-vous prêts à vous perdre dans l’infini d’un nombre, infini qui incite aux rêves et parfois engendre la folie, infini dont on connaît aujourd’hui 31415 milliards de chiffres après 3 virgule, pour ce nombre, π. Si nous voulions les imprimer, cela donnerait l’équivalent de dix millions d’ouvrages. Aucun œil humain n’a jamais parcouru ces chiffres calculés, cette longue suite de chiffres n’existe que dans la mémoire des ordinateurs ! Seuls les ordinateurs savent alors ? Seuls les ordinateurs sur-puissants peuvent alors avoir approché ce concept confus, le nec plus ultra du retrait de l’expérience réelle comme l’énonce cette citation du mathématicien génial Georg Cantor, « L’infini ne peut être trouvé nulle part dans la réalité, quels que soient les expériences, les observations et le savoir auxquels on a recours. La pensée à propos des choses peut-elle être si différente des choses elles-mêmes ? Les processus de pensée peuvent-ils être si différents du processus réel des choses ? En bref, la pensée peut-elle être si éloignée de la réalité ? » Il n’y a donc rien de plus abstrait que l’infini. Prenez l’aspect le plus omniprésent et oppressant du monde concret, à savoir que tout a une fin, est limité, s‘éteint, et puis imaginez, abstraitement, quelque chose qui n’ait pas cette caractéristique. Exercice pas facile vous en convenez ? De plus, quand cet infini s’installe dans ce qu’il y a de plus fini et de plus quotidien, on est dans le vertige, comme marcher au bord d’un précipice.
En effet, cet infini est dans votre poche, où le diamètre et la circonférence des pièces de monnaie lui sont liés. Cet infini est dans le calcul du volume de la Terre et de sa surface. Il est dans la longueur du trajet parcouru par votre voiture, votre vélo. Il est dans les lois de probabilités. Il est partout en physique et bien d’autres sciences. Comment un infini peut-il se cacher dans ce qu’il y a de plus fini ? Evidemment, les analogies avec certaines idées de Dieu surgissent ; l’abstraction de toute limite est alors une manière d’expliquer la pulsion religieuse en termes profanes. Ceci apparaît aussi quand on s’intéresse à l’anthropologie de la religion qui analyse l’idée de l’être parfait. Il peut être considéré comme étant dépourvu de toutes les imperfections que nous percevons en nous-mêmes et dans le monde, un être parfait omnipotent et sans limite, infini. Questionner la perfection, le non fini, nous permet de retrouver les fondements de l’idéologie des approches transhumanistes, à savoir mettre fin à la finitude de l’humain.
L’infini n’est-il alors qu’une manipulation d’abstractions jusqu’à ce que le nom « infini » n’ait plus de référent réel ?
Essayez de produire un peu de pensée abstraite, disciplinée et dirigée. Un effort très précis et indéfinissable évoquant une fugue, doit être produit pour ce genre de pensée, une sensation dont le processus hypnotique consistant à répéter « stylo, stylo, stylo, …. »encore et encore n’est qu’une vague et pâle évocation. L’une des voies les plus rapides pour accéder à cette impression est de penser aux dimensions. Il y a quelque chose que je « sais » à savoir que des dimensions spatiales au delà des trois bien connues (largeur, longueur, hauteur) existent. Je peux même construire un tesseract ou un hypercube avec du carton. Etrange sorte de cube dans un cube, le tesseract est alors la projection d’un objet comportant 4 dimensions dans un espace en trois dimensions. Fabriquer un tesseract c’est tout comme quand vous dessinez un cube, object en 3 dimensions sur une feuille de papier, espace à 2 dimensions. Alors essayez vraiment de vous le représenter. Concrètement, vous allez ressentir une tension aux tréfonds de vous-même, entendre les premiers fils en train de céder dans votre esprit, dont les coutures commencent à céder. Cette expérience vous pouvez également la vivre avec le nombre π.
Mais alors je reprends, 3 virgule 14159265358979… jusqu’à atteindre cette série de chiffres de longueur 31415 milliards, ou, phénomène équivalent, si je me mets à compter 1, 2, 3 et que je réalise que je ne m’arrêterai jamais. Les entiers ne s’arrêtent jamais, il n’y a pas de fin. Est-ce que l’ensemble des entiers constitue un infini réel ? Ou est-ce que les entiers eux-mêmes ne sont pas réellement réels mais juste des abstractions ; et puis qu’est-ce qu’exactement qu’un ensemble, et les ensembles sont-ils réels ou juste des dispositifs conceptuels ?
Mais donc ce nombre alors dont l’ensemble des décimales est infini (jusqu’à aujourd’hui) est-il uniquement une réalité mathématique ? A propos, le symbole ∞ a été inventé par le mathématicien John Wallis en 1655 dans son ouvrage De sectionibus conicis soit Des sections coniques, contemporain de Bernoulli. Sa forme est similaire à la lemniscate de Bernoulli et à certaines configurations du ruban de Möbius. Une lemniscate est une courbe plane ayant la forme d’un 8, le terme vient du grec ancien λημνισκος qui a donné le latin lemniscus qui signifie justement ruban.
Donc, 3.14159, le nombre π, avec son ∞ de décimales, est pour les scientifiques, le roi des nombres, celui qui réunit le plus de mystères et d’étrangetés, celui qui a la plus grande importance mathématique. π s’apprend à l’école primaire et ne s’oublie jamais. π est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ce qui entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. π est aussi « transcendant », un résultat démontré il y a plus d’un siècle par Ferdinand von Lindemann, ce qui signifie que π n’est la solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers (contrairement un autre nombre bien connu, le nombre d’or qui lui est solution d’une équation toute simple x2 = x + 1).
Faisons un petit tour dans l’histoire. L’histoire ancienne de π, qu’on peut retracer grâce aux écrits disponibles, suit approximativement l’avancée des mathématiques dans leur ensemble. Certains auteurs divisent l’histoire de π en trois parties : la période antique durant laquelle π a été étudié géométriquement, l’ère classique, aux alentours du XVIIème siècle, où les outils du calcul intégral ont permis des avancées dans la connaissance du nombre π, et la période des ordinateurs et du numérique.
Très tôt, les mathématiciens ont compris qu’il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu’entre l’aire du disque et le carré du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de 2 000 ans av. JC. présentent des calculs d’aire conduisant à une valeur de π de 3 + 1/8. Le papyrus de Rhind contient le texte qui est la copie réalisée au XVIème siècle avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, copie d’un manuel de problèmes plus ancien encore. Dans ce papyrus est présentée une méthode permettant d’évaluer l’aire d’un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d’un neuvième. Cette méthode mène à une évaluation de π égale à la fraction 256/81 soit environ 3,16.
Vers 700 av. JC., le texte indien Shatapatha Brahmana donne une approximation de π de 25/8 soit 3,125, et le Baudhāyana Sulbasūtra en donne deux autres : 900/289 soit 3,1 et 1156/361 soit 3,20. Des calculs d’astronomie ont ensuite conduit à une autre approximation que l’on retrouve dans les textes védiques qui est 339/108 soit 3,139. Au début du VIème siècle apr. JC., Aryabhata donne une approximation plus précise enproposant la fraction 62 832/20 000 soit 3,1416.
C’est dans le traité d’Archimède datant de la période allant de 287 à 212 av. JC. intitulé De la mesure du cercle qu’on peut lire une démonstration liant l’aire du disque et l’aire du triangle ayant une base de longueur le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon, démontrant ainsi qu’une même constante apparaît dans le rapport entre l’aire du disque et le carré du rayon et entre périmètre et diamètre.
π a fasciné, fascine toujours et très certainement nous fascinera encore longtemps parce que π ouvre une brèche dans notre réalité. Les progrès des mathématiques associés à l’arrivée des ordinateurs permettent alors une plongée toujours plus profonde dans cet infini, bien que quelques dizaines de décimales de π sont largement suffisantes pour les calculs pratiques qu’effectue un physicien. Et donc dès l’arrivée des premiers ordinateurs, la plongée va s’accélérer.
En 1949, à l’aide de l’ENIAC, John von Neumann obtient 2037 décimales de π, à la suite d’un calcul qui a duré 70 heures. Des milliers de décimales supplémentaires sont trouvées au cours des décennies suivantes, l’étape du million de chiffres est passée en 1973. Les progrès n’ont pas seulement été dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, mais aussi aux nouveaux algorithmes utilisés. L’une des avancées les plus significatives a été la découverte dans les années 1960 de la transformée de Fourier rapide qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de très grands nombres.
Vers la fin des années 1980, les frères Chudnovsky utilisent la formule du mathématicien indien du début du XXème siècle Srinivasa Ramanujan pour battre plusieurs records de décimales de π calculées. Leur formule demeure la formule la plus utilisée pour calculer π sur des ordinateurs personnels. Les algorithmes itératifs vont permettre de multiplier le nombre de décimales correctes à chaque étape ce qui fait qu’entre 1981 et 1999, Yasumasa Kanada et ses associés vont battre le record du nombre de décimales de π à onze reprises (plus de 2×1011 décimales en 1999).
Enfin, pour le πDay 2019, le 14 mars 2019, Google rend public le nouveau record de décimales calculé par une de ses employées, Emma Haruka Iwao, au moyen des puissantes machines dont dispose Google. Le nouveau record du monde s’établit à 31 415 milliards de décimales. Il a fallu 111 jours de calculs ininterrompus à Emma Haruka Iwao pour entrer dans le livre Guinness des records. Vertigineux n’est-ce pas ! Et record battu par une femme !
Continuons avec les ordinateurs, et arrêtons-nous pour une petite escapade dans le livre écrit par l’astrophysicien Carl Sagan, Contact. Voici les derniers mots du roman racontant la vie et les découvertes de l’astrophysicienne Eleanor Arroway – d’ailleurs je vous invite à regarder le film qui a été tiré du roman par Robert Zemeckis Jodie Foster et Matthew McConaughey.
« L’ordinateur d’Argus se montra d’une telle opiniâtreté et d’une telle originalité dans ses efforts pour contacter Eleanor Arroway. Le programme [avait] re-disposé les chiffres selon une trame perpendiculaire. […] Caché dans les motifs alternés de chiffres, profondément enfoui au coeur d’un nombre transcendant, il y avait un cercle parfait, dont la forme émergeait grâce à des unités dans un champ de néant. L’univers avait un caractère intentionnel, tel était ce que disait ce cercle. En quelques galaxie que l’on fût, il suffisait de prendre la circonférence d’un cercle, de la diviser par son diamètre, d’effectuer la mesure la plus précise possible, pour découvrir un miracle : un autre cercle tracé à des kilomètres au-delà de la virgule. […] Dans le tissu de l’espace comme dans la nature de la matière figure, en tout petit, la signature de l’artiste. Très haut au dessus des êtres humains, des dieux et des démons, transcendant les Gardiens et les Constructeurs des tunnels, existe une intelligence qui a précédé univers. » Carl Sagan par les messages qu’Eleanor Arroway est amenée à déchiffrer met au coeur de π sa réponse à nos origines et des origines de l’univers.
Mais fait étrange, π serait-il donc un nombre univers ? Qu’est-ce qu’un nombre univers ? Cela signifie en fait qu’on pourrait trouver dans le développement décimal d’un nombre univers n’importe quelle suite finie de chiffres. Plus précisément encore, un nombre univers est un nombre réel à l’intérieur duquel on peut trouver, pour une base donnée, n’importe quelle succession de chiffres de longueur finie. Ainsi, pour être concert, si on se donne une manière de coder un livre selon une suite de chiffres (ce qui est le cas dans un format informatique), on trouvera dans un nombre univers tous les livres déjà écrits et tous les livres à venir. Avec π, on peut ainsi rejoindre les questions posées sur l’univers et sa taille. En effet, si l’univers etait constitué d’une infinité d’univers, il y aurait forcément une occurrence d’univers dans laquelle je serais également en train de vous parler de π au micro d’une radio campus lorraine dans une ville appelée Nancy sur un planète nommée la Terre…. Vertigineux encore n’est-ce pas ?
Notez que cette capacité profane à diviser notre conscience et « à savoir » des choses que nous ne pouvons pas maîtriser est typiquement moderne. Si on se tourne vers les grecs de l’antiquité, et bien, eux ne savaient pas faire ça. Et ne l’aurait même jamais essayé. Ils avaient besoin de choses nettes, et pensaient qu’on ne pouvait pas savoir quelque chose tant qu’on ne la comprenait pas vraiment. Ce n’est pas un accident si les mathématiques ne contenaient ni 0 ni ∞. D’ailleurs le mot qui signifie « infini » voulait aussi dire « désordre ». Aristote, véritable fontaine de citations définitives, disait que « l’essence de l’infini est la privation, non la perfection mais l’absence de limites. » Pas de limite signifie pas de forme, et pas de forme signifie chaos, laideur, désordre, les signes certains que quelque chose dans un concept ne va pas !
Alors aussi bizarres et déstabilisants que soient les infinitésimaux, les infinis, créent malgré tout quelques crevasses dans les mathématiques, dans la métaphysique et dans nos certitudes. Prenons un petit exemple choisis dans les infinitésimaux c’est-à-dire les infiniment petits. Dans ce cas, il n’est pas apparemment pas sensé de parler de l’ « instant suivant » ou de la « fraction de seconde immédiatement consécutive ». Deux instants ne peuvent tout simplement pas être tout à fait successifs. Parce que deux options se présentent à nous : soit il n’y a pas d’intervalle temporel entre deux instants T1 et T2, et dans ce cas, ils ne sont pas successifs, ils sont confondus ; soit l’intervalle est différent de 0, et là on pourra toujours diviser cet intervalle en intervalles toujours plus petits et ce jusqu’à l’infini. Encore un vertige face à l’infini qui se dévoile dans l’intervalle fini compris entre deux instants déterminés.
Les questions qui se posent alors, sont nombreuses tout simplement parce que la pensée humaine ne peut pas vraiment appréhender ou même concevoir l’infini. Mais, on lui demande malgré tout d’approuver une infinité d’infinis, dont un nombre infini de membres individuels ne sont pas exprimables de façon finie, tous se trouvant compris dans un rapport de grandeurs mesurables ayant l’air si fini et innocent. Mais ce rapport, circonférence sur diamètre, présent dans toutes les dimensions de notre réalité nous ramènerait-il à William Blake, qui a écrit que « Si les portes de perception étaient purifiées
Toutes les choses apparaitraient à l’homme telles qu’elles sont, purifiées / Car l’homme s’est enfermé, jusqu’à voir toute chose / Au travers des étroites fentes de sa caverne. »
Alors π nombre univers ou pas, 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628 à l’infini entre dans le calcul de la distance finie parcourue en nombre de tours de roues fini de ma voiture ou de mon vélo. π nombre univers ou pas jusqu’à pousser certains d’entre nous à tenter d’en mémoriser un nombre incroyable de décimales ! Jusqu’à la folie ! π nombre univers ou comment le rapport de la circonférence et du diamètre d’un cercle nous ramène au « tissu de l’espace » dont nous sommes faits.
Voilà, le temps des Nowakowsπsmes s’est écoulé, les décimales de π ont continué à s’égrener, les Nowakowskismes se sont pencher dans l’abime ouvert dans l’infiniment petit vers l’infiniment grand, dans un nombre qui trouve aussi sa place dans la compréhension des phénomènes nécessaires à la transmission des ondes transportant mes mots jusqu’à vous. Passionnant, fascinant, et certainement bien plus que cela, une des matérialisation de l’insatiable curiosité de la pensée humaine.
Sources
David Foster Wallace, Tout et plus encore. Une histoire compacte de l’∞.
Carl Sagan, Contact.
Douglas Hofstader, Les brins d’une guirlande éternelle.
Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre Pi.
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Samuel Nowakowski (March 26, 2019). Nowakowskismes n°3.12. π * Nowakowskismes^2 = les Nowakowsπsmes. Humanités numériques . Retrieved January 20, 2025 from https://doi.org/10.58079/sfri